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<!DOCTYPE html>

<title>Fuzzy-Menge</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Fuzzy-Menge</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eine Fuzzy-Menge (auch unscharfe Menge, <a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> fuzzy set) ist eine Menge, deren Elemente nicht notwendig mit Gewissheit, sondern nur graduell zur Menge gehören.

So werden z. B. die „Menge der Besserverdienenden in Deutschland“, die „Menge der jungen Leute in Berlin“ oder die „Menge der reifen Äpfel auf einem Baum“ besser durch eine Fuzzy-Menge beschrieben als durch eine (scharfe) Menge mit klassischer Ja-Nein-Zugehörigkeit der Elemente.

Der Begriff Fuzzy-Menge wurde 1965 durch <a href="Lotfi_Zadeh" title="Lotfi Zadeh">Lotfi Zadeh</a> (1921–2017) geprägt,<a href="#cite_note-1">[1]</a> hat aber gedankliche Vorläufer bis hinein in die Antike (z. B. das <a href="Sorites-Paradoxie" class="mw-redirect" title="Sorites-Paradoxie">Sorites-Problem</a>), aber auch in der <a href="Mehrwertige_Logik" title="Mehrwertige Logik">mehrwertigen Logik</a>. Fuzzy-Mengen sind Grundelemente der <a href="Fuzzylogik" title="Fuzzylogik">Fuzzylogik</a> und der <a href="Fuzzy-Regler" title="Fuzzy-Regler">Fuzzy-Regler</a> und dort in teils spezieller Terminologie eingeführt worden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> eine Menge. Sie ist die Grundmenge (auch: Universum), auf der die Untersuchungen durchgeführt werden. Ein klassisches Beispiel für ein Universum bildet die Menge der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a>. Während eine klassische (scharfe) Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08a940c5084dea009e3e54dc2ffd92daab14c00d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.624ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq U}" loading="lazy"> durch ihre <a href="Indikatorfunktion" title="Indikatorfunktion">Indikatorfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi _{A}\colon U\to \{0,1\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi _{A}\colon U\to \{0,1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/849d920d224798fe465a18e63b2a3dbb007f519d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.034ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \chi _{A}\colon U\to \{0,1\}}" loading="lazy"> mit

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1,&{\text{falls }}x\in A\\0,&{\text{falls }}x\notin A\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1f91f271c9d359497e10e2ec724300aa4a8db04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.362ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1,&{\text{falls }}x\in A\\0,&{\text{falls }}x\notin A\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

beschrieben wird, ist eine Fuzzy-Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> durch ihre sogenannte Zugehörigkeitsfunktion (engl. membership function) charakterisiert

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A}\colon U\to [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe3ca2956cfe624b8bdc6caa2cc8dace8b921b4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.588ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m_{A}\colon U\to [0,1]}" loading="lazy"></dd></dl>

charakterisiert.

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c32ddcb2941216f2980b950ce969dc15cba26906.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.953ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U}" loading="lazy"> liegt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{A}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ad6517ffb9f9bd88fc3d33b62d986b3879bcfdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m_{A}(x)}" loading="lazy"> zwischen 0 und 1 und wird interpretiert als Grad der Akzeptanz (<a href="Possibilit%C3%A4tstheorie" title="Possibilitätstheorie">Möglichkeit</a> oder <a href="Wahrheitswert" title="Wahrheitswert">Wahrheit</a>), dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> gehört. Eine wichtige Rolle spielen die sogenannten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">-Schnitte, (engl. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">-cuts)

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in U:m_{A}(x)\geq \alpha \}\quad \alpha \in (0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11f06dd7965093b1e6660ae2b1f898d5c5a7d9da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.132ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in U:m_{A}(x)\geq \alpha \}\quad \alpha \in (0,1]}" loading="lazy">,</dd></dl>

d. h. die scharfen Mengen aller Elemente, die eine Mindestzugehörigkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> von haben.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operationen_mit_Fuzzy-Mengen">Operationen mit Fuzzy-Mengen</h2></div>

Der <a href="Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Durchschnitt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cap B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb27b38cf9eac6060e67b61f66cd9beec5067f81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\cap B}" loading="lazy"> und die <a href="Vereinigungsmenge" class="mw-redirect" title="Vereinigungsmenge">Vereinigung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cup B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cup B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdb575990bcfbcdf616aa6fd76e8b30bf7fd2169.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\cup B}" loading="lazy"> zweier Fuzzy-Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B\subset U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B\subset U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb4741fcdd15337356c0bd5f19981e4e1ddac36b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.422ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B\subset U}" loading="lazy"> ist in der Regel definiert durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A\cap B}(x)=\min[m_{A}(x),m_{B}(x)],\quad x\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43bec28a9063a15d45d662c2f80fd7f6ef09b8a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m_{A\cap B}(x)=\min[m_{A}(x),m_{B}(x)],\quad x\in U}" loading="lazy">,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A\cup B}(x)=\max[m_{A}(x),m_{B}(x)],\quad x\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/139b16f58da82b829a6ad6cca9ba43be80997259.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.352ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m_{A\cup B}(x)=\max[m_{A}(x),m_{B}(x)],\quad x\in U}" loading="lazy">.</dd></dl>

Anstelle von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \min }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \min }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/695d28931288a686335c3969dfd15bb76ea873db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.875ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \min }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \max }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \max }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8e49fca3e322708b32d21eaa8b095dc05f09538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.326ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \max }" loading="lazy"> können jedoch auch andere <a href="T-Norm" title="T-Norm">T-Normen</a> bzw. T-Conormen verwendet werden, siehe z. B.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Die <a href="Komplement_(Mengenlehre)" title="Komplement (Mengenlehre)">Komplementbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {A}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c003b99422260ba7cc644d36c04448c181a3759.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\bar {A}}}" loading="lazy"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> geschieht meistens gemäß

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{\bar {A}}(x)=1-m_{A}(x),\quad x\in U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6445f96143e25d8e86f23fdea3192f5a26b6416c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:29.817ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m_{\bar {A}}(x)=1-m_{A}(x),\quad x\in U}" loading="lazy">,</dd></dl>

kann aber auch anders gestaltet werden, z. B. durch das sogenannte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">-Komplement, das auf Sugeno zurückgeht.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Im Gegensatz zu scharfen Mengen sind hier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {A}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c003b99422260ba7cc644d36c04448c181a3759.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\bar {A}}}" loading="lazy"> nicht notwendig <a href="Disjunkt" title="Disjunkt">disjunkt</a> und geben vereinigt auch nicht notwendig das Universum, d. h.

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap {\bar {A}}\neq \emptyset \quad ,\quad A\cup {\bar {A}}\neq U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c408f17ab7f8ae62345b1ceff843bf14550bdc26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.024ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A\cap {\bar {A}}\neq \emptyset \quad ,\quad A\cup {\bar {A}}\neq U}" loading="lazy">,</dd></dl>

bei Fuzzy-Mengen gilt also nicht der <a href="Satz_vom_ausgeschlossenen_Dritten" title="Satz vom ausgeschlossenen Dritten">Satz vom ausgeschlossenen Dritten</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fuzzy-Zahlen">Fuzzy-Zahlen</h2></div>

<a href="Fuzzy-Zahl" title="Fuzzy-Zahl">Fuzzy-Zahlen</a> sind spezielle Fuzzy-Mengen. Das Universum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> ist die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> der reellen Zahlen. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> heißt Fuzzy-Zahl, wenn es genau ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> gibt, wo die Zugehörigkeitsfunktion den Wert 1 annimmt, d. h.

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} :m_{A}(a)=1\quad \forall x\neq a:m_{A}(x)<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd964dcedebe1abac81f9402949168afd514b8c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.899ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} :m_{A}(a)=1\quad \forall x\neq a:m_{A}(x)<1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dann kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> als die Fuzzy-Menge interpretiert werden, die den Ausdruck ungefähr <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> beschreibt. Wenn z. B. die Raumtemperatur „ungefähr 20 Grad Celsius“ beträgt, könnte man die Menge der möglichen Raumtemperaturen durch eine Fuzzy-Zahl modellieren, deren Zugehörigkeitsfunktion bei 20 Grad Celsius eins ist und die links bzw. rechts davon auf null abfällt. Die einfachste Form einer Fuzzy-Zahl ist die Dreiecks-Fuzzy-Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,\Delta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\Delta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ab8fb063ee9063776137f0c1567ae931356e5d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.009ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\Delta )}" loading="lazy">, deren Zugehörigkeitsfunktion optisch wie ein gleichseitiges Dreieck mit der Spitze bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaae23950e96a955ab5b07015a168fd931d4d82b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.658ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x=a}" loading="lazy"> aussieht, d. h.

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A}(x)=\max \left\{(1-{\frac {|x-a|}{\Delta }}),0\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b1657e8fb759e3526921330e42daca924408657.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.48ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle m_{A}(x)=\max \left\{(1-{\frac {|x-a|}{\Delta }}),0\right\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"> der sogenannte Spreizungsparameter, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{A}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ad6517ffb9f9bd88fc3d33b62d986b3879bcfdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m_{A}(x)}" loading="lazy"> ist nur innerhalb des Intervalles <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a-\Delta ,a+\Delta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a-\Delta ,a+\Delta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be2f098717e4e41ab5e74f165d40e472e035df1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.855ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a-\Delta ,a+\Delta )}" loading="lazy"> größer als null. Bei einem <a href="Fuzzy-Regler" title="Fuzzy-Regler">Fuzzy-Regler</a> werden die nötigen Fuzzy-Mengen meistens durch Dreiecks-Fuzzy-Zahlen modelliert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Addition_von_Fuzzy-Zahlen">Addition von Fuzzy-Zahlen</h2></div>

Anschaulich sollte „ungefähr 3“ plus „ungefähr 4“ gleich „ungefähr 7“ sein, aber es stellt sich die Frage, was genau man darunter verstehen soll. Mit Hilfe des recht allgemeinen <a href="Erweiterungsprinzip_in_der_Theorie_der_Fuzzymengen" title="Erweiterungsprinzip in der Theorie der Fuzzymengen">Erweiterungsprinzips</a> (siehe z. B.<a href="#cite_note-4">[4]</a>) erhält man die Summe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\oplus B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\oplus B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0512d6bdd29ff000dea0bf68b853618dcaabc3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.348ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\oplus B}" loading="lazy"> zweier Fuzzy-Zahlen durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A\oplus B}(x)=\sup _{y_{1},y_{2}:y_{1}+y_{2}=x}\min[m_{A}(y_{1}),m_{A}(y_{2})]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe9b08bc525c7f20967a0f2e340d352729699f04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:44.835ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle m_{A\oplus B}(x)=\sup _{y_{1},y_{2}:y_{1}+y_{2}=x}\min[m_{A}(y_{1}),m_{A}(y_{2})]}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für scharfe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> reduziert sich diese Formel auf die <a href="Minkowski-Summe" title="Minkowski-Summe">Minkowski-Addition</a>. Für zwei Dreiecks-Fuzzy-Zahlen ergibt sich z. B. ganz einfach

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,\Delta _{1})\oplus (b,\Delta _{2})=(a+b,\Delta _{1}+\Delta _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d09b1ae28830c6e3ad9ae5551f8738c9a2ed72de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,\Delta _{1})\oplus (b,\Delta _{2})=(a+b,\Delta _{1}+\Delta _{2})}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weiteres">Weiteres</h2></div>

<ul><li>Außer der Addition können weitere algebraische Operationen für Fuzzy-Zahlen wie Subtraktion, Multiplikation, Division u. a. eingeführt werden, siehe z. B.<a href="#cite_note-5">[5]</a></li>

<li>Eine wichtige Verallgemeinerung von Fuzzy-Mengen sind <a href="Intuitionistische_Fuzzymenge" title="Intuitionistische Fuzzymenge">Intuitionistische Fuzzymengen</a>.</li>

<li>Sogenannte probabilistische Fuzzy-Mengen sind Fuzzy-Mengen, wo die Zugehörigkeitswerte <a href="Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Zufallsgröße">Zufallsgrößen</a> sind, siehe<a href="#cite_note-6">[6]</a></li>

<li>Bei sogenannten Typ-2-Fuzzy-Mengen sind die Zugehörigkeitswerte keine reellen Zahlen zwischen Null und Eins, sondern selbst unscharfe Werte wie z. B. „hoch“ oder „niedrig“, siehe z. B.<a href="#cite_note-7">[7]</a></li>

<li>siehe auch <a href="Zuf%C3%A4llige_Fuzzymenge" title="Zufällige Fuzzymenge">Zufällige Fuzzymenge</a>, <a href="Fuzzy-Zufallsvariable" title="Fuzzy-Zufallsvariable">Fuzzy-Zufallsvariable</a>, <a href="Erweiterungsprinzip_in_der_Theorie_der_Fuzzymengen" title="Erweiterungsprinzip in der Theorie der Fuzzymengen">Erweiterungsprinzip</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>D. Dubois, H. Prade: Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York 1980.</li>

<li><a href="George_Klir" title="George Klir">G. J. Klir</a>, Bo Yuan: Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. Prentice Hall, 1995.</li>

<li><a href="Hans-J%C3%BCrgen_Zimmermann_(Wirtschaftswissenschaftler)" title="Hans-Jürgen Zimmermann (Wirtschaftswissenschaftler)">H.-J. Zimmermann</a>: Fuzzy set theory – and its applications. 4th ed. Kluwer, 2001.</li>

<li><a href="Hans_Walter_Bandemer" title="Hans Walter Bandemer">H. Bandemer</a>, <a href="Siegfried_Gottwald" title="Siegfried Gottwald">S.Gottwald</a>: Fuzzy sets, fuzzy logic, fuzzy methods: With applications. Wiley, Chichester 1995.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Lotfi_Zadeh" title="Lotfi Zadeh">L.A.Zadeh</a>: Fuzzy sets. In: Information and Control, 8, 1965, S. 338–353, <a href="https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X" class="extiw external" title="doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X">doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X</a>

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> E. P. Klement, R. Mesiar, E. Pap: Triangular Norms. Kluwer Dordrecht 2000.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> M. Sugeno: Theory of fuzzy integrals and its applications. Ph.D. thesis. Tokyo Institute of Technology, Tokyo 1974.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="Hans_Walter_Bandemer" title="Hans Walter Bandemer">H. Bandemer</a>, <a href="Siegfried_Gottwald" title="Siegfried Gottwald">S. Gottwald</a>: Einführung in Fuzzy-Methoden. 4. überarbeitete und erweiterte Auflage. Akademieverlag, Berlin 1993

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> D. Dubois, H. Prade: Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York 1980

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> K. Hirota: Concepts of probabilistic sets. In: Fuzzy Sets and Systems, 5, 1981, S. 31–46

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> M. Mizumoto, K. Tanaka: Some properties of fuzzy sets of type-2. In: Information and Control, 30, 1976, S. 312–340

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>